Вероятность вытащить 3 шара из коробки среди 5 белых и 7 черных

Одной из основных задач теории вероятностей является определение вероятности наступления определенного события. В данной статье мы рассмотрим вероятность вытащить 3 шара из коробки, в которой содержится 5 белых и 7 черных шаров, таким образом, что среди этих 3 шаров будет как минимум один белый и один черный.

Исходя из условий задачи, мы можем выделить два основных способа вытаскивания 3 шаров из коробки. Первый способ — вытащить 1 белый и 2 черных шара, а второй способ — вытащить 2 белых и 1 черный шар. Рассмотрим каждый из этих случаев более подробно.

Способ 1: вытаскивание 1 белого и 2 черных шаров

Для того чтобы вытащить 1 белый шар и 2 черных шара, мы можем выбрать 1 белый шар из 5 и 2 черных шара из 7. Вероятность вытащить 1 белый шар составляет 5/12, а вероятность вытащить 2 черных шара — 7/11 * 6/10. Поэтому вероятность вытащить 1 белый и 2 черных шара равна произведению этих двух вероятностей.

Способ 2: вытаскивание 2 белых и 1 черного шара

В случае, если нам нужно вытащить 2 белых и 1 черный шар, мы можем выбрать 2 белых шара из 5 и 1 черный шар из 7. Вероятность вытащить 2 белых шара равна 5/12 * 4/11, а вероятность вытащить 1 черный шар — 7/10. Таким образом, вероятность вытащить 2 белых и 1 черный шар равна произведению этих двух вероятностей.

Итоговая вероятность вытащить 3 шара из коробки, среди которых будет как минимум один белый и один черный, равна сумме вероятностей двух способов, представленных выше.

Вероятность вытащить 3 шара из коробки с белыми и черными шарами

Представим ситуацию, в которой в коробке находится 5 белых шаров и 7 черных шаров. Нас интересует вероятность вытащить 3 шара из этой коробки, учитывая, что среди них должны быть как белые, так и черные шары.

Для решения этой задачи нам необходимо рассмотреть два случая:

1. Первый шар — белый
1. Второй шар — белый
2. Второй шар — черный
2. Первый шар — черный
1. Второй шар — белый
2. Второй шар — черный

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности:

Первый шар — белый

Возможностей вытащить белый первый шар: 5 шаров из 12 (всего шаров в коробке)

Возможностей вытащить белый второй шар: 4 шара из 11 (осталось 11 шаров в коробке после вытягивания первого белого шара)

Возможностей вытащить третий шар из любого цвета: 10 шаров из 10 (осталось 10 шаров в коробке после вытягивания первого и второго шаров)

Первый шар — черный

Возможностей вытащить черный первый шар: 7 шаров из 12 (всего шаров в коробке)

Возможностей вытащить белый второй шар: 5 шаров из 11 (осталось 11 шаров в коробке после вытягивания первого черного шара)

Возможностей вытащить третий шар из любого цвета: 10 шаров из 10 (осталось 10 шаров в коробке после вытягивания первого черного и второго белого шаров)

Теперь вычислим вероятности каждого случая:

Случай 1: Первый шар — белый

Вероятность вытащить 3 шара с белыми и черными шарами: (5/12) * (4/11) * (10/10) = 40/132 = 10/33

Случай 2: Первый шар — черный

Вероятность вытащить 3 шара с белыми и черными шарами: (7/12) * (5/11) * (10/10) = 350/1320 = 25/92

Таким образом, общая вероятность вытащить 3 шара среди которых есть белые и черные, из коробки с 5 белыми и 7 черными шарами, равняется:

(10/33) + (25/92) = 330/1089 + 575/1089 = 905/1089 ≈ 0,8297 (округляя до 4 знаков после запятой)

Особенности вероятности вытаскивания шаров из коробки

Вероятность вытаскивания шаров из коробки может быть определена с использованием комбинаторики. Для понимания особенностей этого процесса важно учесть следующие факторы:

1. Количество шаров в коробке: Коробка содержит 5 белых и 7 черных шаров, то есть всего 12 шаров.
2. Цель вытаскивания: Наша цель — вытащить 3 шара из коробки. При этом, мы хотим, чтобы среди выбранных шаров были как белые, так и черные.
3. Сочетания без повторений: Для определения вероятности выбора 3 шаров с учетом различных сочетаний, мы можем использовать формулу сочетаний без повторений: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!), где n — общее количество шаров в коробке, а r — количество шаров, которые мы хотим выбрать.

Рассмотрим два возможных сценария вытаскивания шаров для определения вероятности:

1. Первый сценарий: Вытаскиваем 2 белых шара и 1 черный шар.

   • Количество сочетаний для выбора 2 белых шаров из 5: C(5, 2) = 10
   • Количество сочетаний для выбора 1 черного шара из 7: C(7, 1) = 7
   • Общее количество возможных сочетаний для этого сценария: C(5, 2) * C(7, 1) = 70

2. Второй сценарий: Вытаскиваем 2 черных шара и 1 белый шар.

   • Количество сочетаний для выбора 2 черных шаров из 7: C(7, 2) = 21
   • Количество сочетаний для выбора 1 белого шара из 5: C(5, 1) = 5
   • Общее количество возможных сочетаний для этого сценария: C(7, 2) * C(5, 1) = 21 * 5 = 105

И, наконец, для определения вероятности каждого сценария необходимо разделить общее количество возможных сочетаний для каждого сценария на общее количество возможных сочетаний:

Таким образом, мы можем сказать, что вероятность вытаскивания 3 шаров, среди которых есть как белые, так и черные, из коробки с 5 белыми и 7 черными шарами составляет 40% для первого сценария и 60% для второго сценария.

Как влияет количество белых и черных шаров на вероятность

Вероятность вытащить 3 шара, среди которых есть белые и черные, из коробки с n белыми и m черными шарами зависит от соотношения этих цветов. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: Белых шаров больше, чем черных

Если в коробке есть n белых и m черных шаров, причем n > m, то вероятность вытащить 3 шара такого цвета, чтобы среди них были и белые, и черные, будет максимальной. Это связано с тем, что при большем количестве белых шаров, вероятность их выбора на каждом шаге будет выше, чем вероятность выбора черных шаров.

Случай 2: Черных шаров больше, чем белых

Если в коробке есть n белых и m черных шаров, причем n < m, то вероятность вытащить 3 шара такого цвета, чтобы среди них были и белые, и черные, будет меньше, чем в предыдущем случае. Это связано с тем, что при большем количестве черных шаров, вероятность их выбора на каждом шаге будет выше, чем вероятность выбора белых шаров.

Случай 3: Белых и черных шаров одинаковое количество

Если в коробке есть n белых и m черных шаров, причем n = m, то вероятность вытащить 3 шара такого цвета, чтобы среди них были и белые, и черные, будет средней по сравнению с предыдущими случаями. В этом случае вероятности выбора белых и черных шаров будут равны на каждом шаге.

В целом, количество белых и черных шаров в коробке влияет на вероятность выбора шаров разных цветов, при условии, что среди них есть и белые, и черные. Максимальная вероятность достигается, когда количество белых шаров превышает количество черных шаров.

Как изменяется вероятность при последовательном вытаскивании шаров

Представим, что у нас есть коробка, в которой содержатся 5 белых и 7 черных шаров. Мы хотим вытянуть 3 шара по очереди без возвращения, то есть рассматриваем каждое вытаскивание независимо от предыдущего.

Возможные случаи при последовательном вытаскивании шаров:

1. Вытащить 3 белых шара подряд;
2. Вытащить 2 белых шара и 1 черный шар;
3. Вытащить 1 белый шар и 2 черных шара;
4. Вытащить 3 черных шара подряд.

Чтобы найти вероятность каждого случая, можно использовать комбинаторику и принцип умножения вероятностей. Вероятность каждого вытаскивания определяется отношением количества благоприятных исходов к общему числу исходов.

Для первого случая, когда вытаскиваются 3 белых шара подряд, благоприятные исходы состоят из одного варианта — вытянуть все 3 белых шара из 5 доступных. Общее число исходов можно найти, используя формулу размещения без повторений (сочетания):

Число исходов = C(5, 3) = 10

Таким образом, вероятность вытянуть 3 белых шара подряд равна:

Вероятность = 1 / 10 = 0.1

Аналогично можно рассчитать вероятность для остальных случаев.

Итак, видно, что вероятность вытянуть 3 белых шара подряд значительно меньше, чем вероятность вытянуть 2 белых шара и 1 черный, или 1 белый шар и 2 черных. А вероятность вытянуть 3 черных шара подряд будет еще меньше.

Таким образом, при последовательном вытаскивании шаров из коробки вероятность зависит от состава шаров и меняется в зависимости от ситуации.

Вопрос-ответ

Какова вероятность вытащить 3 шара, среди которых есть хотя бы один белый и хотя бы один черный, из коробки с 5 белыми и 7 черными шарами?

Для нахождения вероятности вытащить 3 шара, содержащих хотя бы по одному шару каждого цвета, нужно найти вероятность выбрать белый, черный и любой цвет шара. Вероятность выбрать белый шар на первом ходу: 5 белых шаров из 12 остающихся. Вероятность выбрать черный шар на втором ходу: 7 черных шаров из 11 оставшихся. Вероятность выбрать любой цвет шара на третьем ходу: 12 шаров из 10 оставшихся. Итоговая вероятность будет равна: (5/12) * (7/11) * (12/10) = 0.106.

Какова вероятность вытащить 3 шара, среди которых есть ровно 2 белых и 1 черный, из коробки с 5 белыми и 7 черными шарами?

Для нахождения вероятности вытащить 3 шара, содержащих ровно 2 белых и 1 черный, нужно найти вероятность выбрать 2 белых и 1 черный шар. Вероятность выбрать 2 белых шара на первых двух ходах: (5/12) * (4/11). Вероятность выбрать 1 черный шар на третьем ходу: 7 черных шаров из 10 оставшихся. Итоговая вероятность будет равна: (5/12) * (4/11) * (7/10) = 0.071.

Какова вероятность вытащить 3 шара, среди которых есть только белые, из коробки с 5 белыми и 7 черными шарами?

Для нахождения вероятности вытащить 3 шара, содержащих только белые шары, нужно найти вероятность выбрать белый шар на каждом ходу. Вероятность выбрать белый шар на первом ходу: 5 белых шаров из 12 оставшихся. Вероятность выбрать белый шар на втором ходу: 4 белых шаров из 11 оставшихся. Вероятность выбрать белый шар на третьем ходу: 3 белых шара из 10 оставшихся. Итоговая вероятность будет равна: (5/12) * (4/11) * (3/10) = 0.045.