Точки графика функции f(x) = х^3 — 3х^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс

Функция f(x) = х³ — 3х² представляет собой кубическую функцию, которая задает график в виде параболы, причем вершина этой параболы является минимальной точкой функции. Точки касательной, параллельной оси абсцисс, можно найти путем решения соответствующего уравнения.

Для нахождения точек касательной, параллельной оси абсцисс, необходимо найти производную функции f'(x) и приравнять ее к нулю. Затем, решив уравнение, получим значения x, в которых касательная параллельна оси абсцисс.

Производная функции f'(x) = 3х² — 6х представляет собой квадратичную функцию. Решим уравнение f'(x) = 0. Получим два значения x: х = 0 и х = 2. То есть, функция имеет две точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс.

Подставив найденные значения x в исходную функцию f(x) = х³ — 3х², получим соответствующие значения y. Таким образом, точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции f(x) = х³ — 3х² будут иметь координаты (0, 0) и (2, -4).

Как найти точки касательной графика функции fx = х³ — 3х²?

Для нахождения точек касательной графика функции необходимо:

1. Найти производную функции fx = х³ — 3х². Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:
• fx’ = 3х² — 6х
2. Решить уравнение fx’ = 0 для определения точек экстремума функции. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
• 3х² — 6х = 0
• х(3х — 6) = 0
• х = 0 или 3х — 6 = 0
• х = 0 или 3х = 6
• х = 0 или х = 2
3. Подставить найденные значения х в исходную функцию fx = х³ — 3х² для нахождения соответствующих значения y:
• Для х = 0: f(0) = (0)³ — 3(0)² = 0 — 0 = 0
• Для х = 2: f(2) = (2)³ — 3(2)² = 8 — 12 = -4

Таким образом, точки касательной графика функции fx = х³ — 3х² находятся в точках (0, 0) и (2, -4).

Особые точки графика функции

График функции f(x) = x³ — 3x² имеет несколько особых точек, которые требуют особого внимания при анализе и изучении функции.

1. Пересечение с осью абсцисс

Особая точка графика функции — это точка, в которой график пересекает ось абсцисс. Для функции f(x) = x³ — 3x² эти особые точки могут быть найдены путем решения уравнения f(x) = 0. Решив это уравнение, получим:

Значение x	Значение f(x)
0	0
3	0
-3	0

2. Пересечение с осью ординат

График функции пересекает ось ординат в точке (0, 0), так как f(0) = 0³ — 3·0² = 0. Это также является особой точкой графика.

3. Точки экстремума

Для нахождения точек экстремума функции следует произвести дифференцирование функции и найти ее производную. Приравняв производную к нулю и решив уравнение, получим точки, в которых есть экстремумы.

Для функции f(x) = x³ — 3x²:

• Производная f'(x) = 3x² — 6x
• Составим уравнение: f'(x) = 0
• Решим уравнение и найдем значения x:

Значение x	Значение f'(x)
0	0
2	0

4. Точка перегиба

Для нахождения точки перегиба функции следует найти вторую производную функции. После нахождения второй производной, приравняем ее к нулю и решим уравнение.

Для функции f(x) = x³ — 3x²:

• Первая производная f'(x) = 3x² — 6x
• Вторая производная f»(x) = 6x — 6
• Составим уравнение: f»(x) = 0
• Решим уравнение и найдем значения x:

Значение x	Значение f»(x)
1	0

Данные особые точки графика функции позволяют проводить более глубокий анализ формы и характеристик функции.

Нахождение точек пересечения графика с осью абсцисс

Для нахождения точек пересечения графика функции с осью абсцисс необходимо решить уравнение f(x) = 0. В данном случае у нас функция f(x) = x³ — 3x².

Процесс нахождения точек пересечения графика с осью абсцисс можно разделить на следующие шаги:

1. Запишем уравнение функции в виде f(x) = 0: x³ — 3x² = 0.
2. Факторизуем уравнение: x²(x — 3) = 0.
3. Решим полученное уравнение: x² = 0 или x — 3 = 0.
4. Решив первое уравнение, получаем корень x = 0.
5. Решив второе уравнение, получаем корень x = 3.

Таким образом, точки пересечения графика функции f(x) = x³ — 3x² с осью абсцисс находятся в точках (0, 0) и (3, 0).

Нахождение производной функции

Производная функции позволяет найти наклон касательной к графику функции в каждой его точке. Для нахождения производной функции f(x) необходимо использовать правила дифференцирования.

1. Запишите функцию f(x) = x³ — 3x².
2. Примените правило дифференцирования для многочлена: каждый моном замените его производной.
3. Найдите производную каждого монома:

3x² — 6x является производной функции f(x) = x³ — 3x².

Теперь мы можем использовать найденную производную для нахождения точек касательной, параллельной оси абсцисс. Для этого нужно найти корни производной функции, то есть значения x, при которых производная равна нулю:

1. 3x² — 6x = 0
2. x(3x — 6) = 0
3. x = 0 или 3x — 6 = 0
4. x = 0 или 3x = 6
5. x = 0 или x = 2

Получили две точки, в которых наклон касательной к графику функции равен нулю: (0, 0) и (2, -8).

Нахождение уравнения прямой через точку и наклон

Для нахождения уравнения прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через заданную точку, необходимо знать координаты данной точки и наклон прямой.

Уравнение прямой имеет следующий вид: y = kx + b, где k — наклон прямой, b — свободный член уравнения.

Для нахождения заданной точки можно воспользоваться графиком функции f(x) = x³ — 3x². Необходимо найти точку, у которой значение функции равно нулю, то есть f(x) = 0.

Найдем значения координат точки:

1. Подставим f(x) = 0 в уравнение функции: x³ — 3x² = 0.
2. Факторизуем полученное уравнение: x²(x — 3) = 0.
3. Решим полученное уравнение: x₁ = 0, x₂ = 3.

Таким образом, у нас есть две точки с координатами (0, 0) и (3, 0), через которые должна проходить искомая прямая.

Далее, необходимо найти наклон прямой. Для этого используем производную функции f(x). Коэффициент перед x в производной функции будет являться наклоном прямой.

Найдем производную функции:

1. f'(x) = 3x² — 6x.

Теперь, подставим значения координат точек в производную функции и найдем наклон прямой:

1. f'(0) = 3(0)² — 6(0) = 0.
2. f'(3) = 3(3)² — 6(3) = 9 — 18 = -9.

Таким образом, наклон прямой равен -9.

Итак, у нас есть точка (0, 0) и наклон прямой -9. Подставим полученные значения в уравнение прямой:

y = -9x + b.

Для нахождения свободного члена b можно воспользоваться одной из найденных точек (0, 0) или (3, 0). Подставим, например, точку (0, 0) в уравнение:

0 = -9(0) + b.

Отсюда можно найти b:

b = 0.

Таким образом, уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку (0, 0), имеет вид:

y = -9x.

Решение уравнения прямой и функции

Чтобы найти точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции f(x) = x³ — 3x², нужно:

1. Записать уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. У такой прямой угловой коэффициент равен нулю, а угловой коэффициент можно найти как производную функции в точке касания.
2. Найти производную функции f(x) = x³ — 3x², используя правило дифференцирования степенной функции.
3. Найти точку касания, решив уравнение f'(x) = 0.
4. Подставить найденное значение x в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение y.

Производная функции f(x) = x³ — 3x²:

f'(x) = 3x² — 6x

Решим уравнение f'(x) = 0:

3x² — 6x = 0

3x(x — 2) = 0

Разделим уравнение на 3:

x(x — 2) = 0

Решим получившееся уравнение:

• Если x = 0, то y = f(0) = 0³ — 3(0)² = 0.
• Если x = 2, то y = f(2) = 2³ — 3(2)² = 2.

Таким образом, точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции f(x) = x³ — 3x², равны: (0, 0) и (2, 2).

Ответы к задачам на нахождение точек касательной, параллельной оси абсцисс

Рассмотрим задачу на нахождение точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции fx = х³ — 3х².

1. Для начала найдем производную функции fx: f'(x) = 3x² — 6x.

2. Чтобы найти точки касательной, параллельной оси абсцисс, необходимо решить уравнение f'(x) = 0.

3. Решим уравнение 3x² — 6x = 0:

Таким образом, точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции fx = х³ — 3х², будут иметь координаты (0, 0) и (2, 0).

Вопрос-ответ

Как найти точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции f(x) = x³ — 3x²?

Для того, чтобы найти точки касательной, параллельной оси абсцисс, на графике функции f(x) = x³ — 3x², нужно найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Так как ось абсцисс горизонтальная прямая, ее уравнение имеет вид y = 0. Подставляем y = 0 в уравнение производной функции и решаем полученное уравнение для x. Так мы найдем x-координаты точек касания. Затем подставляем найденные x-координаты в исходную функцию и находим соответствующие y-координаты точек касания.

Как найти точку на графике функции f(x) = x³ — 3x², в которой касательная параллельна оси абсцисс?

Чтобы найти такую точку на графике функции f(x) = x³ — 3x², нужно взять производную этой функции и приравнять ее к нулю. После этого решаем полученное уравнение для x и находим x-координату искомой точки. Затем подставляем найденную x-координату в исходную функцию, чтобы найти соответствующую y-координату искомой точки. Полученная точка будет лежать на графике функции и будет иметь касательную, параллельную оси абсцисс.

Каким образом можно определить точку на графике функции f(x) = x³ — 3x², в которой касательная будет параллельна оси абсцисс?

Для определения точки на графике функции f(x) = x³ — 3x², в которой касательная будет параллельна оси абсцисс, необходимо найти точки пересечения производной функции с осью абсцисс. Для этого берем производную исходной функции и приравниваем ее к нулю. Решаем полученное уравнение для x и получаем x-координаты точек пересечения. Затем подставляем эти x-координаты в исходную функцию и находим соответствующие y-координаты. Таким образом, мы определяем точки на графике, где касательная будет параллельна оси абсцисс.