Квадратичная форма положительно определена когда

Квадратичная форма – это математическое выражение, состоящее из квадратов переменных и их произведений. В квадратичной форме может быть несколько переменных, но для простоты рассмотрим случай с одной переменной.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает положительные значения для всех ненулевых значений переменной. Иными словами, она не может быть отрицательной или равной нулю.

Условие положительной определенности квадратичной формы можно записать математически: для любого ненулевого значения переменной x, квадратичная форма Q(x) должна быть больше нуля. Это можно записать в виде неравенства:

Q(x) > 0, где x ≠ 0.

Примером положительно определенной квадратичной формы может служить форма Q(x) = x^2 + 4x + 4. Для любого ненулевого значения переменной x, данная квадратичная форма принимает значения больше нуля. Таким образом, она является положительно определенной.

Определение и свойства квадратичной формы

Квадратичная форма — это функция от нескольких переменных, представляющая собой сумму квадратов этих переменных и их произведений с коэффициентами. Формально, квадратичная форма определяется следующим образом:

Q(x) = a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + … + a_nnx_n² + 2a₁₂x₁x₂ + 2a₁₃x₁x₃ + … + 2a_n-1nx_n-1x_n

Где a_ij — коэффициенты, x_i — переменные.

Свойства квадратичной формы:

1. Если все коэффициенты a_ij равны нулю, то квадратичная форма Q(x) также равна нулю для всех значений переменных x. Это свойство называется невырожденностью.
2. Квадратичная форма Q(x) называется симметричной, если ее коэффициенты a_ij равны коэффициентам a_ji для всех i и j. Иными словами, Q(x) = Q^T(x), где Q^T — транспонированная матрица Q(x).
3. Симметричная квадратичная форма Q(x) задает квадратичную функцию f(x) = x^TQx, где x — вектор переменных. Иными словами, значение квадратичной функции для вектора x равно значению квадратичной формы для того же вектора.
4. Если симметричная квадратичная форма Q(x) положительно определена, то это означает, что для любого ненулевого вектора x, значение квадратичной функции f(x) = x^TQx всегда положительно. Это свойство называется положительной определенностью.

Квадратичные формы широко применяются в математике и физике, особенно в линейной алгебре и теории оптимизации. Они играют важную роль в определении и анализе матриц и в применении методов оптимизации для решения различных задач.

Условия положительной определенности

Квадратичная форма является положительно определенной, если выполняются следующие условия:

1. Все главные миноры квадратичной формы положительны. Главные миноры — это диагональные элементы матрицы квадратичной формы. Если все главные миноры больше нуля, то это говорит о том, что квадратичная форма положительно определена.
2. Квадратичная форма имеет только положительные собственные значения. Собственные значения квадратичной формы являются корнями уравнения, заданного соотношением Ax = λx, где A — матрица квадратичной формы, λ — собственное значение, x — собственный вектор. Если все собственные значения положительные, то это гарантирует положительную определенность квадратичной формы.
3. Любое линейное преобразование квадратичной формы должно сохранять ее положительную определенность. Это значит, что если A — матрица квадратичной формы и B — матрица линейного преобразования, то для новой квадратичной формы C = B^TAB должны выполняться условия положительной определенности.

Если все условия положительной определенности квадратичной формы выполняются, то это означает, что она всегда принимает положительные значения для всех ненулевых векторов входных данных.

Пример:

Рассмотрим квадратичную форму в трехмерном пространстве:

Для этой квадратичной формы все главные миноры положительны, все собственные значения положительны и она сохраняет положительную определенность при любом линейном преобразовании. Следовательно, она положительно определена.

Примеры положительно определенных квадратичных форм

Положительно определенная квадратичная форма — это квадратичная форма, такая что для любого ненулевого вектора x квадратичная форма Q(x) всегда будет положительной, то есть Q(x) > 0.

Приведем несколько примеров положительно определенных квадратичных форм:

1. Евклидова норма вектора

   Евклидова норма вектора x в n-мерном евклидовом пространстве задается формулой: