Как построить окружность по трём точкам

Построение окружности по трём заданным точкам – это задача, с которой часто сталкиваются при работе с геометрией. Такая окружность называется «описанной окружностью» и представляет собой окружность, проходящую через все три точки.

Построение описанной окружности может быть полезным в различных областях, включая геодезию, картографию, компьютерную графику и теорию алгоритмов. Для решения этой задачи мы можем использовать несколько шагов и алгоритмов.

Первым шагом для построения окружности по трём точкам является нахождение середины отрезков, соединяющих эти точки. Далее, мы можем построить перпендикуляр к каждому из этих отрезков в точке середины и точно такой же перпендикуляр в точке другого отрезка.

Шаг 1: Определение задачи

Перед тем, как перейти к построению окружности по 3 точкам, необходимо определить, что именно требуется сделать и какую информацию у нас уже есть.

Задача состоит в том, чтобы построить окружность, проходящую через три заданные точки в плоскости. У нас есть координаты этих трех точек, которые обозначим как A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3).

Алгоритм решения этой задачи будет базироваться на понятии центра окружности и радиуса.

Центр окружности – это точка в плоскости, которая находится на одинаковом расстоянии от всех трех заданных точек. Это некая общая точка, через которую проходит окружность.

Радиус окружности – это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности.

Итак, нашей задачей будет определить координаты центра окружности (x0, y0) и ее радиус R.

Прежде чем перейти к шагу 2, необходимо проверить, что точки A, B и C не лежат на одной прямой. Если они лежат на одной прямой, то окружность, проходящая через них, невозможна.

Шаг 2: Импорт необходимых библиотек

Для построения окружности по 3 точкам нам потребуются специализированные библиотеки для работы с геометрическими объектами и вычислений. В данном алгоритме мы будем использовать следующие библиотеки:

• NumPy — библиотека для работы с массивами и выполения математических операций;
• Matplotlib — библиотека для визуализации данных, в том числе графиков и диаграмм;
• Scipy — библиотека для научных вычислений, которая содержит различные функции для работы с геометрией и оптимизацией.

Для импорта этих библиотек необходимо выполнить следующие команды:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize

Первая команда импортирует библиотеку NumPy и дает ей псевдоним np, чтобы обращаться к ней более удобно. Вторая команда импортирует библиотеку Matplotlib и дает ей псевдоним plt. Третья команда импортирует функцию minimize из библиотеки Scipy для оптимизации функции.

Шаг 3: Создание списка координат точек

После того как мы определили координаты трех точек, нам необходимо создать список, чтобы хранить эти координаты.

Список точек может быть представлен в виде таблицы, где каждая точка представлена строкой с ее координатами. Каждый столбец таблицы будет содержать одну координату. Для создания списка можно использовать следующие шаги:

1. Создать пустой список точек.
2. Добавить первую точку в список, используя ее координаты.
3. Добавить вторую точку в список.
4. Добавить третью точку в список.

В итоге у нас будет список из трех точек, каждая из которых будет представлена своими координатами.

Этот шаг позволит нам удобно работать с координатами точек и осуществлять дальнейшие вычисления для построения окружности.

Шаг 4: Построение прямых через две точки

После того, как мы определили 3 точки, через которые хотим построить окружность, мы можем перейти к следующему шагу — построению прямых через две точки. Эти прямые позволят нам найти центр и радиус окружности.

Для построения прямой через две точки нам понадобятся следующие шаги:

1. Определите две точки, через которые планируете провести прямую. Обозначим эти точки как A и B.
2. Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки A и B.
3. Постройте отрезок AB, соединив эти две точки. Отрезок AB будет являться отрезком, лежащим на искомой прямой.
4. Найдите середину отрезка AB и обозначьте ее точкой M.
5. Проведите прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную отрезку AB. Эта прямая будет пересекать искомую окружность в центре.

Прямые, проведенные через две точки, помогут нам найти центр окружности и дальше продвинуться к построению самой окружности.

Шаг 5: Нахождение середины отрезка

После того как мы определили все необходимые координаты точек, мы можем перейти к нахождению середины отрезка. Середина отрезка — это точка, которая находится на равном удалении от двух крайних точек отрезка.

Для нахождения середины отрезка мы будем использовать следующие формулы:

• Для нахождения x-координаты середины отрезка: (x₁ + x₂) / 2
• Для нахождения y-координаты середины отрезка: (y₁ + y₂) / 2

Где x₁ и y₁ — координаты первой точки, а x₂ и y₂ — координаты второй точки.

Подставляя значения координат в эти формулы, мы получим x и y значения середины отрезка.

Таким образом, мы можем найти середину отрезка, основываясь на координатах двух крайних точек. Эта информация будет полезной при построении окружности через три точки.

Шаг 6: Нахождение перпендикуляра

После нахождения центра окружности и радиуса, мы можем найти перпендикуляр к прямой, проходящей через две известные точки, используя следующий алгоритм:

1. Найдите середину отрезка между двумя известными точками. Для этого вычислите среднее значение координат x и y обеих точек.
2. Вычислите угловой коэффициент прямой, проходящей через две известные точки. Для этого используйте формулу:

m = (y2 — y1) / (x2 — x1)

3. Вычислите угловой коэффициент перпендикуляра путем инвертирования и изменения знака углового коэффициента прямой. Для этого используйте формулу:

mperp = -1 / m

4. Используйте найденный угловой коэффициент перпендикуляра и середину отрезка для нахождения уравнения прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной данной прямой. Уравнение прямой имеет вид:

y = mperp(x — x0) + y0

где (x₀, y₀) — координаты центра окружности.

Теперь у нас есть уравнение прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной данной прямой. Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти точку пересечения прямых.

Шаг 7: Нахождение центра окружности

После определения радиуса окружности на предыдущем шаге, следующим этапом является нахождение её центра. Для этого нам необходимо использовать координаты трех известных точек, через которые должна проходить окружность.

Для нахождения центра окружности мы можем воспользоваться одним из следующих методов:

1. Метод пересекающихся середин
2. Метод перепендикуляров
3. Метод двух отрезков

Рассмотрим каждый из методов более подробно:

• Метод пересекающихся середин

  Суть этого метода заключается в том, чтобы провести две середины между парами точек и найти их точку пересечения. Эта точка будет центром окружности.

  Точка	Координаты (x, y)
  A	(x1, y1)
  B	(x2, y2)
  C	(x3, y3)

  Тогда координаты середин AB и AC будут:

  • S_AB: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2
  • S_AC: x = (x1 + x3) / 2, y = (y1 + y3) / 2

  Найдем уравнение прямой AB и AC:

  • AB: y = k_AB * (x — S_AB.x) + S_AB.y
  • AC: y = k_AC * (x — S_AC.x) + S_AC.y

  где k — наклон прямой:

  • k_AB = (S_AB.y — y1) / (S_AB.x — x1)
  • k_AC = (S_AC.y — y1) / (S_AC.x — x1)

  Теперь найдем точку пересечения этих прямых. Решим систему уравнений:

  • k_AB * (x — S_AB.x) + S_AB.y = k_AC * (x — S_AC.x) + S_AC.y
  • y = k_AB * (x — S_AB.x) + S_AB.y

  Решив эту систему, получим координаты центра окружности.

• Метод перепендикуляров

  В этом методе мы будем строить перпендикуляры к отрезкам AB и AC, проходящие через их середины. Точка пересечения этих перпендикуляров будет центром окружности.

  Для этого нам сначала нужно найти наклон прямых AB и AC:

  • k_AB = (y2 — y1) / (x2 — x1)
  • k_AC = (y3 — y1) / (x3 — x1)

  Находим координаты середин AB и AC:

  • S_AB: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2
  • S_AC: x = (x1 + x3) / 2, y = (y1 + y3) / 2

  Также найдем коэффициенты перпендикуляров к прямым AB и AC:

  • p_AB = -1 / k_AB
  • p_AC = -1 / k_AC

  Уравнение перпендикуляров будет следующим:

  • l_AB: y = p_AB * (x — S_AB.x) + S_AB.y
  • l_AC: y = p_AC * (x — S_AC.x) + S_AC.y

  Решив систему уравнений перпендикуляров, найдем координаты центра окружности.

• Метод двух отрезков

  Этот метод основан на нахождении двух середин отрезков AB и AC и их последующем пересечении.

  Сначала найдем координаты середин AB и AC:

  • S_AB: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2
  • S_AC: x = (x1 + x3) / 2, y = (y1 + y3) / 2

  Возьмем вектора AB и AC:

  • V_AB = (x2 — x1, y2 — y1)
  • V_AC = (x3 — x1, y3 — y1)

  Найдем векторное произведение этих векторов:

  • V_ABxAC = V_AB.x * V_AC.y — V_AB.y * V_AC.x

  Найдем координаты центра окружности:

  • C.x = S_AB.x + (V_AC.y * (S_AB.y — S_AC.y) — V_AC.x * (S_AB.x — S_AC.x)) / V_ABxAC
  • C.y = S_AB.y + (V_AB.x * (S_AB.y — S_AC.y) — V_AB.y * (S_AB.x — S_AC.x)) / V_ABxAC

На этом этапе мы получаем координаты центра окружности, который будет задавать её положение на плоскости.

Шаг 8: Расчет радиуса окружности

После того, как мы определили центр окружности, шагом 7, следующим шагом будет расчет ее радиуса. Радиус окружности — это расстояние от центра до любой из точек, принадлежащих окружности.

Для вычисления радиуса окружности с использованием координатных точек A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) мы можем использовать следующую формулу:

Используя данную формулу, мы можем вычислить радиус окружности для нашего примера.

1. Пусть точка A имеет координаты A(2, 3), центр окружности найден на предыдущем шаге — (h, k) = (1, 2).
2. Расчет радиуса окружности:

• Радиус окружности (r) = √[(2 — 1)^2 + (3 — 2)^2]
• Радиус окружности (r) = √[1 + 1]
• Радиус окружности (r) = √2

Таким образом, для данной окружности радиус составляет √2.

Вопрос-ответ

Можно ли построить окружность по 3 точкам, если они лежат на одной прямой?

Нет, невозможно построить окружность, если все 3 точки лежат на одной прямой. Окружность, построенная по 3 точкам, всегда лежит вне прямой, образованной этими точками.

Каким образом можно проверить принадлежность точки окружности, построенной по 3 точкам?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка окружности, построенной по 3 исходным точкам, нужно найти расстояние от центра окружности до этой точки. Затем это расстояние сравнивается с радиусом окружности: если расстояние равно радиусу, то точка лежит на окружности, если расстояние меньше радиуса, то точка лежит внутри окружности, и если расстояние больше радиуса, то точка лежит вне окружности.