Как меняется определитель при элементарных преобразованиях

Определитель является важной характеристикой матрицы, которая используется в линейной алгебре, теории групп и других математических дисциплинах. Однако, при применении элементарных преобразований к матрицам, определитель может изменяться. В данной статье мы рассмотрим основные законы, которые определяют, как изменяется определитель при таких преобразованиях, а также приведем примеры для наглядного объяснения.

Определитель матрицы является полезным инструментом для вычисления таких характеристик, как ранг, обратная матрица, собственные значения и многое другое. Поэтому важно знать, как изменяется определитель при элементарных преобразованиях. Существуют три основных закона, которые определяют эти изменения: I) Если к любой строке (или столбцу) матрицы прибавить или вычесть другую строку (столбец), умноженную на некоторое число, то определитель останется неизменным; II) Если строки (или столбцы) матрицы переставить местами, то определитель поменяет знак; III) Если к любой строке (или столбцу) матрицы умножить на некоторое число, то определитель умножится на это число.

Например, рассмотрим матрицу A размером 3×3:

| 2  4   6 |
| 1  3   5 |
| 0  -1  2 |

Если мы применим первое элементарное преобразование, прибавив к первой строке вторую строку, умноженную на -1, определитель матрицы A останется неизменным. После элементарного преобразования получим:

| 3  7   11 |
| 1  3   5  |
| 0  -1  2  |

В данной статье мы рассмотрим и другие примеры элементарных преобразований с матрицами и их влияние на определитель. Более глубокое понимание этих законов позволит нам эффективно применять элементарные преобразования при решении систем линейных уравнений и других задач, в которых определитель играет важную роль.

Основные законы изменения определителя при элементарных преобразованиях

Определитель — это число, которое можно найти для квадратной матрицы. Он отражает некоторые важные свойства матрицы и может использоваться, например, для определения обратимости матрицы, решения систем линейных уравнений и т. д.

При выполнении элементарных преобразований над матрицей ее определитель может измениться. Существуют несколько законов, описывающих изменение определителя при основных элементарных преобразованиях:

1. Правило умножения строки матрицы на число: Если все элементы строки матрицы умножить на число k, то определитель матрицы также умножится на k.

2. Правило прибавления к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число: Если к одной строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на число k, то определитель матрицы не изменится.

3. Правило перестановки двух строк матрицы: Если поменять местами две строки матрицы, то определитель матрицы изменит свой знак на противоположный.

При выполнении других элементарных преобразований, таких как перестановка двух столбцов или умножение столбца на число, аналогичные законы изменения определителя остаются в силе, но с применением соответствующих операций над столбцами.

Рассмотрим пример для наглядного представления изменения определителя при элементарных преобразованиях. Для матрицы:

Выполним преобразование: к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 2. Получим новую матрицу:

Определитель новой матрицы также равен определителю исходной матрицы, так как мы выполнили преобразование второго типа, при котором определитель не изменяется.

Закон сложения

Закон сложения является одним из основных законов, определяющих изменение определителя матрицы при элементарных преобразованиях. Суть закона заключается в том, что если к одной строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), то определитель матрицы не изменится.

Формально, если дана матрица A размером $n \times m$:

$$ A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\

a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \\

\end{bmatrix} $$

и из нее получается матрица B, прибавлением к $i$-ой строке $j$-ой строки ($1 \leq i, j \leq n$):

$$ B = A + \begin{bmatrix}

0 & 0 & \dots & 0 \\

0 & 0 & \dots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & a_{i1} + a_{j1} & \dots & a_{im} + a_{jm} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \dots & 0 \\

\end{bmatrix} $$

Тогда определитель матрицы B будет равен определителю матрицы A.

Пример:

Матрица A:

Прибавляем к первой строке вторую строку:

Матрица B:

Определитель матрицы B также равен 2.

Примеры элементарных преобразований с определителем

Элементарные преобразования позволяют изменять матрицу, при этом определитель также подвергается изменению. Ниже приведены примеры элементарных преобразований и их влияния на определитель матрицы:

1. Перестановка двух строк (столбцов).

   Если две строки (столбца) матрицы поменять местами, то определитель матрицы меняет знак:

   a	b
   c	d

   Определитель до преобразования: ad — bc

   c	d
   a	b

   Определитель после преобразования: bd — ac

2. Умножение строки (столбца) на число.

   Если строку (столбец) матрицы умножить на число, то определитель матрицы также умножается на это число:

   a	b
   c	d

   Определитель до преобразования: ad — bc

   2a	2b
   c	d

   Определитель после преобразования: 2(ad — bc)

3. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число.

   Если к одной строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на число, то определитель матрицы не изменится:

   a	b
   c	d

   Определитель до преобразования: ad — bc

   a+2c	b+2d
   c	d

   Определитель после преобразования: ad — bc

Вопрос-ответ

Как изменяется определитель, если к одной из строк (столбцов) матрицы добавить или вычесть другую строку (столбец)?

Если к одной из строк (столбцов) матрицы прибавить или вычесть другую строку (столбец), умноженную на некоторое число, то значение определителя не изменится.

Как изменяется определитель, если одну из строк (столбцов) матрицы умножить на число?

Если одну из строк (столбцов) матрицы умножить на число, значение определителя умножается на это число.

Что происходит с определителем, если поменять местами две строки (столбца) матрицы?

Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, знак определителя меняется на противоположный.