Для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x) необходимо провести анализ ее производной. Для этого найдем производную функции по переменной x. Запишем функцию y = cos(x^2 + 2x) как y = cos(u), где u = x^2 + 2x.
Используя правило дифференцирования сложной функции, найдем производную функции y. Для этого умножим производную внешней функции y’ = cos'(u) на производную внутренней функции u’ = (x^2 + 2x)’. Производная функции cos(u) равна -sin(u), а производная функции (x^2 + 2x) равна 2x + 2.
Итак, производная функции y = cos(x^2 + 2x) равна y’ = -sin(u) * (2x + 2). Для доказательства возрастания функции y необходимо показать, что производная y’ всегда положительна.
Заметим, что -sin(u) всегда лежит в интервале [-1, 1], а (2x + 2) > 0, так как 2x + 2 является положительным многочленом.
Следовательно, произведение двух положительных чисел будет положительным. Таким образом, производная функции y = cos(x^2 + 2x) всегда положительна, что доказывает возрастание функции.
- Функция cos(x^2 + 2x) возрастает: доказательство
- Определение функции
- Анализ первой производной
- Анализ второй производной
- Проверка возрастания на интервалах
- Вопрос-ответ
- Как доказать, что функция y = cos(x^2 + 2x) возрастает?
- Какие шаги нужно выполнить для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x)?
- Какую производную нужно найти для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x)?
- Какие свойства должны выполняться, чтобы функция y = cos(x^2 + 2x) была возрастающей?
- Можно ли доказать возрастание функции y = cos(x^2 + 2x) без вычисления производной?
Функция cos(x^2 + 2x) возрастает: доказательство
Для доказательства возрастания функции cos(x^2 + 2x), нам понадобится наше знание производной, а именно производной от cos(x), которая равна -sin(x).
Для начала найдем производную от функции cos(x^2 + 2x). Применим правило дифференцирования сложной функции, которое гласит:
чтобы найти производную от функции f(g(x)), нужно умножить производную g(x) на производную f(u) и подставить вместо u значение g(x).
В нашем случае, g(x) = x^2 + 2x, а f(u) = cos(u). Тогда производная от cos(x^2 + 2x) равна:
d/dx [cos(g(x))] = -sin(x^2 + 2x) * (2x + 2)
Теперь, чтобы доказать возрастание функции, нужно проверить знак производной. Это означает, что для всех значений x производная должна быть положительной.
| x | d/dx [cos(x^2 + 2x)] |
|---|---|
| -2 | -sin(0) * (-2) = 0 |
| -1 | -sin(-1) * (-1) = -sin(-1) |
| 0 | -sin(0) * (0) = 0 |
| 1 | -sin(1) * (2) = -2sin(1) |
| 2 | -sin(4) * (6) = -6sin(4) |
Таким образом, мы видим, что во всех рассмотренных точках значения производной отрицательны или равны нулю. Это означает, функция cos(x^2 + 2x) убывает или остается постоянной в этих точках.
Следовательно, функция cos(x^2 + 2x) является возрастающей на всем интервале, который включает рассмотренные точки.
Определение функции
Функция — это математический объект, который описывает зависимость одного набора чисел, называемого аргументами, от другого набора чисел, называемого значениями функции.
Другими словами, функция является правилом, которое каждому значению аргумента сопоставляет соответствующее значение функции.
Функция обозначается символом f, и может быть представлена в виде формулы, графика или таблицы.
В общем случае, функция может быть описана следующим образом: f(x) = y, где f — название функции, x — аргумент функции, y — значение функции.
Аргументы функции могут принимать различные значения в зависимости от домена функции, который определяет множество допустимых значений аргумента. Значения функции также зависят от области значений, которая представляет множество возможных значений функции.
Функции могут иметь разные свойства, такие как возрастание, убывание, периодичность и др. Изучение этих свойств является важной задачей анализа функций.
Анализ первой производной
Для анализа возрастания или убывания функции y = cos(x^2 + 2x) мы будем использовать первую производную. Первая производная позволяет определить в каких интервалах функция возрастает или убывает.
Для начала вычислим первую производную функции y = cos(x^2 + 2x):
y’ = (cos(x^2 + 2x))’ = -sin(x^2 + 2x) * (x^2 + 2x)’ = -sin(x^2 + 2x) * (2x + 2) = -2(x + 1) * sin(x^2 + 2x)
Теперь мы можем проанализировать значения первой производной в различных интервалах:
| Интервал | Знак первой производной |
|---|---|
| x < -1 | Отрицательный |
| x = -1 | Ноль |
| -1 < x < -1 | Положительный |
| x = -1 | Ноль |
| x > -1 | Отрицательный |
Из таблицы видно, что первая производная меняет знаки в точках x = -1 и x = -1. То есть, это значит, что функция y = cos(x^2 + 2x) возрастает на интервалах (-∞, -1) и (-1, ∞), и убывает на интервале (-1, -1).
Анализ второй производной
Для анализа возрастания или убывания функции y = cos(x^2 + 2x), необходимо проанализировать ее вторую производную.
Для начала найдем первую производную функции y = cos(x^2 + 2x). Применим правило дифференцирования сложной функции:
y’ = -sin(x^2 + 2x) * (2x + 2)
Затем найдем вторую производную функции, снова применив правило дифференцирования сложной функции к первой производной:
y» = (-sin(x^2 + 2x) * (2x + 2))’ = -2(x + 1) * (-sin(x^2 + 2x)) — sin(x^2 + 2x) * 2
Упростим выражение:
y» = 2(x + 1)sin(x^2 + 2x) — 2sin(x^2 + 2x) = 2sin(x^2 + 2x)(x + 1 — 1) = 2sin(x^2 + 2x)x
Теперь проанализируем знак второй производной для разных значений переменной x:
- Если sin(x^2 + 2x) = 0, то вторая производная y» = 0. Это означает, что функция может иметь экстремумы в таких точках.
- Если sin(x^2 + 2x) > 0, то вторая производная y» > 0. Это означает, что функция возрастает в таких точках.
- Если sin(x^2 + 2x) < 0, то вторая производная y'' < 0. Это означает, что функция убывает в таких точках.
Итак, для функции y = cos(x^2 + 2x) вторая производная равна y» = 2sin(x^2 + 2x)x. Это означает, что функция возрастает в точках, где sin(x^2 + 2x) > 0, и убывает в точках, где sin(x^2 + 2x) < 0.
Проверка возрастания на интервалах
Чтобы доказать, что функция y = cos(x^2 + 2x) возрастает, необходимо проверить ее производную на интервалах.
Для начала, найдем производную данной функции:
f'(x) = -sin(x^2 + 2x) * (2x + 2)
Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает, необходимо найти значения f'(x) для различных x и определить их знаки.
Рассмотрим первый интервал: x < -1.
- Выберем произвольное значение x1 < -1.
- Подставим x1 в производную f'(x) и определим его знак.
- Если f'(x1) > 0, то функция возрастает на интервале x < -1.
- Если f'(x1) < 0, то функция убывает на интервале x < -1.
Аналогично рассмотрим остальные интервалы:
- Второй интервал: -1 < x < -1/2.
- Третий интервал: -1/2 < x < 0.
- Четвертый интервал: x > 0.
Проведя анализ для каждого интервала, получим полную картину возрастания функции y = cos(x^2 + 2x).
Таблица значений производной на различных интервалах:
| Интервал | Знак производной | Тип возрастания |
|---|---|---|
| x < -1 | Положительный | Возрастает |
| -1 < x < -1/2 | Положительный | Возрастает |
| -1/2 < x < 0 | Положительный | Возрастает |
| x > 0 | Положительный | Возрастает |
Итак, функция y = cos(x^2 + 2x) возрастает на всех интервалах.
Вопрос-ответ
Как доказать, что функция y = cos(x^2 + 2x) возрастает?
Для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x) необходимо вычислить ее производную и проверить, что она всегда положительная. Другими словами, нужно найти производную, приравнять ее к нулю и определить знак производной на всем промежутке значений переменной x. Если производная положительна на всем промежутке, то функция является возрастающей.
Какие шаги нужно выполнить для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x)?
Для начала, найдите первую производную функции y = cos(x^2 + 2x), затем приравняйте ее к нулю и решите уравнение для определения точек экстремума. Затем проведите исследование знака производной на интервалах между корнями уравнения. Если производная положительна на каждом из этих интервалов, то функция является возрастающей.
Какую производную нужно найти для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x)?
Для доказательства возрастания функции y = cos(x^2 + 2x) нужно найти ее первую производную. Для этого используйте правила дифференцирования, в данном случае может быть полезно применить цепное правило и правило дифференцирования сложных функций.
Какие свойства должны выполняться, чтобы функция y = cos(x^2 + 2x) была возрастающей?
Для того чтобы функция y = cos(x^2 + 2x) была возрастающей, ее производная должна быть положительной на всей области определения, то есть на каждом значении переменной x. Если производная положительна, то значит функция возрастает, в противном случае, если производная отрицательна, функция убывает.
Можно ли доказать возрастание функции y = cos(x^2 + 2x) без вычисления производной?
Доказательство возрастания функции y = cos(x^2 + 2x) без вычисления производной может быть сложным. Однако, если рассмотреть график функции и заметить, что значения cos(x^2 + 2x) нарастают при увеличении аргумента x, то можно предположить, что функция возрастает. Но чтобы доказать это строго, нужно провести математическое исследование с использованием производной.