Докажите что сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел делится на 3

Данная задача предлагает доказать, что сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел делится на 3. Для начала, вспомним, что квадрат числа равен произведению этого числа на само себя. То есть, если у нас есть последовательность чисел — n, n+1 и n+2, то их квадраты будут равны n^2, (n+1)^2 и (n+2)^2 соответственно.

Теперь нам нужно доказать, что сумма этих квадратов плюс единица делится на 3. Мы можем взять исходную сумму и разделить ее на 3. Если результат будет целым числом, то это будет означать, что исходное утверждение верно.

Для начала раскроем скобки в выражении (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9). После обычных математических операций получим 3n^2 + 12n + 14.

Видим, что у нас есть делитель 3 во всех трех частях исходной суммы, поэтому остается показать, что сумма квадратов остатков при делении на 3 единицы будет также делиться на 3. Это можно сделать, проверив каждый остаток (0, 1 и 2) при делении на 3.

Теорема о делимости суммы единицы с квадратами трех последовательных чисел на 3

Данная теорема утверждает, что сумма единицы сочетается с суммой квадратов трех последовательных чисел, и делится на 3.

Формально можно записать:

Теорема: Длина последовательности чисел равна 3. Если числа обозначаются как n, n+1 и n+2, то сумма единицы и квадратов этих чисел, то есть (n + (n+1) + (n+2))^2 делится на 3.

Таким образом, мы представляем сумму единицы сочетаниями последовательности чисел и находим ее квадрат. Затем проверяем делимость этой суммы на 3.

Для получения эмпирического подтверждения данной теоремы, можно воспользоваться таблицей:

Как видно из таблицы, для всех трех примеров сумма чисел и единицы квадратов делится на 3. Таким образом, это подтверждает нашу теорему.

Формулировка теоремы

Теорема:

Сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел делится на 3.

Доказательство:

Пусть даны три последовательных числа:

Тогда сумма единицы с квадратами этих чисел будет:

(a + 1)^2 + a^2 + (a + 2)^2 + 1 = a^2 + 2a + 1 + a^2 + a^2 + 4a + 4 + 1 =

3a^2 + 6a + 6 = 3(a^2 + 2a + 2)

Таким образом, сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел является произведением числа 3 на некоторое целое число (a^2 + 2a + 2), что является определением деления на 3 без остатка. Теорема доказана.

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы о том, что сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел делится на 3, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверим, что утверждение верно для начального числа.

Пусть наше первое число равно n = 1. Тогда сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел будет равна:

1. 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 4 = 5

Видим, что сумма не делится на 3. Таким образом, для n = 1 утверждение не выполняется.

Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого числа k:

1 + k² + (k+1)² + (k+2)² делится на 3.

Шаг 3: Докажем, что утверждение верно и для числа k+1:

Распишем сумму единицы с квадратами трех последовательных чисел для k+1:

1. 1 + (k+1)² + (k+2)² + (k+3)²
2. 1 + k² + 2k + 1 + k² + 4k + 4 + k² + 6k + 9
3. 3k² + 12k + 15
4. 3(k² + 4k + 5)

Уравнение делится на 3, так как (k² + 4k + 5) является целым числом. Таким образом, утверждение верно и для числа k+1.

Следовательно, утверждение теоремы доказано методом математической индукции. Сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел всегда делится на 3.

Пример

Рассмотрим последовательность трех чисел: n, n+1, n+2.

Тогда их квадраты будут равны: n^2, (n+1)^2, (n+2)^2.

Сумма этих квадратов вычисляется следующим образом:

Как видно из выражения, сумма состоит из трех слагаемых.

Первое слагаемое 3n^2 делится на 3.

Второе слагаемое 6n делится на 3.

Третье слагаемое 5 не делится на 3.

Таким образом, сумма 3n^2 + 6n + 5 делится на 3.

Вопрос-ответ