Докажите, что последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Если последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией, то каждый следующий элемент должен быть получен путем добавления одной и той же константы к предыдущему элементу.

Для доказательства, рассмотрим первые несколько членов последовательности:

a1 = 5 + 2 * 1 = 7

a2 = 5 + 2 * 2 = 9

a3 = 5 + 2 * 3 = 11

Чтобы убедиться, что разница между каждым последующим элементом равна 2, рассмотрим разность между соседними членами последовательности:

a2 — a1 = (5 + 2 * 2) — (5 + 2 * 1) = 9 — 7 = 2

a3 — a2 = (5 + 2 * 3) — (5 + 2 * 2) = 11 — 9 = 2

Таким образом, можно увидеть, что каждая разность между соседними членами равна 2, что подтверждает, что последовательность задана арифметической прогрессией.

Условие задачи о последовательности аn = 5 + 2n

Дана последовательность аn, определенная как аn = 5 + 2n, где n — натуральное число.

Необходимо доказать, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Чтобы доказать, что данная последовательность является арифметической прогрессией, нужно проверить, что разность последовательности аn+1 — аn равна постоянному числу для всех значений n.

Расчитаем значения последовательности для первых нескольких натуральных чисел:

Можно заметить, что разность прогрессии равна 2.

Таким образом, значение разности прогрессии является постоянным для всех значений n, а значит, последовательность аn = 5 + 2n является арифметической прогрессией.

Определение арифметической прогрессии и формула общего члена

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления одного и того же числа к предыдущему элементу.

Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид:

где:

• an — n-й член арифметической прогрессии
• a1 — первый член арифметической прогрессии
• d — разность между любыми двумя последовательными членами
• n — номер члена арифметической прогрессии

Для доказательства, что последовательность ан = 5 + 2n является арифметической прогрессией, нужно проверить, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. В данном случае разность равна 2, что подтверждает, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Принципы проверки последовательности на арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается из предыдущего путем прибавления одного и того же числа, называемого шагом или разностью.

Проверка, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, может осуществляться с помощью нескольких принципов.

1. Анализ разности

   Один из простейших способов проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, — это анализировать разность между каждыми двумя соседними элементами. Если разность между ними постоянна, то это указывает на арифметическую прогрессию.

2. Вычисление шага

   Если разность между каждыми двумя соседними элементами в последовательности постоянна, то она равна шагу арифметической прогрессии. Один из методов вычисления шага — это выбор двух соседних элементов и разница между ними.

3. Элементы прогрессии

   Проверка последовательности на арифметическую прогрессию также включает анализ каждого элемента в отдельности. Если каждый элемент выражается через предыдущий с помощью фиксированной разности, то это также указывает на то, что последовательность является арифметической прогрессией.

При проверке последовательности на арифметическую прогрессию важно учитывать все элементы и разности между ними. Даже один пропущенный элемент или непостоянность разности может свидетельствовать о том, что последовательность не является арифметической прогрессией.

Доказательство, что а_n = 5 + 2n является арифметической прогрессией

Для начала, необходимо понять, что такое арифметическая прогрессия. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем добавления одного и того же числа (называемого разностью) к предыдущему элементу. Если элементы прогрессии обозначить как a₁, a₂, a₃, …, a_n, то разность будет обозначаться как d.

В данной задаче мы имеем последовательность а_n = 5 + 2n, где n — номер элемента прогрессии.

Чтобы доказать, что данная последовательность является арифметической прогрессией, нужно убедиться, что разность между соседними элементами постоянна.

Рассмотрим первые два элемента:

Проверим, равна ли разность между этими двумя элементами 2:

Таким образом, разность между соседними элементами равна 2. Значит, последовательность а_n = 5 + 2n является арифметической прогрессией с разностью d = 2.

Теперь доказательство завершено.

Нахождение первого члена а1 последовательности

Для того чтобы найти первый член а1 последовательности, необходимо подставить номер этого члена в формулу последовательности и вычислить значение. В данном случае, нам дана формула последовательности аn = 5 + 2n.

Чтобы найти первый член последовательности, нам необходимо подставить значение n=1:

а1 = 5 + 2*1 = 5 + 2 = 7.

Таким образом, первый член последовательности равен 7.

Также можно заметить, что первый член последовательности всегда будет равен начальному члену an, если последовательность является арифметической прогрессией.

Нахождение разности прогрессии

Для того чтобы доказать, что последовательность а_n = 5 + 2n является арифметической прогрессией, нужно найти разность (d) этой прогрессии.

Разность прогрессии (d) определяется как разность любых двух последовательных членов прогрессии. В данном случае, можно выбрать два произвольных члена последовательности и вычислить разность между ними.

Пусть выберем два произвольных члена последовательности: а₁ = 5 + 2*1 = 7 и а₂ = 5 + 2*2 = 9.

Теперь мы можем вычислить разность прогрессии:

d = а₂ — а₁ = 9 — 7 = 2.

Таким образом, разность прогрессии а_n = 5 + 2n равна 2. Это подтверждает, что данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 2.

Доказательство равенства n-го члена последовательности an и общего члена прогрессии

Для доказательства равенства n-го члена последовательности an и общего члена арифметической прогрессии, необходимо сравнить формулы для обоих случаев.

Последовательность an:

1. Исходная последовательность: an = 5 + 2n
2. Подставим n = 1: a1 = 5 + 2 * 1 = 7
3. Подставим n = 2: a2 = 5 + 2 * 2 = 9
4. Подставим n = 3: a3 = 5 + 2 * 3 = 11
5. …

Арифметическая прогрессия:

1. Исходная прогрессия: an = a1 + (n-1)d
2. Подставим a1 = 5 и d = 2: an = 5 + (n-1) * 2
3. Подставим n = 1: a1 = 5 + (1-1) * 2 = 5
4. Подставим n = 2: a2 = 5 + (2-1) * 2 = 7
5. Подставим n = 3: a3 = 5 + (3-1) * 2 = 9
6. …

Как видно из сравнения формул, n-ый член последовательности an и общий член арифметической прогрессии равны друг другу:

Таким образом, последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией.

Основные свойства арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия (А.П.) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью А.П.

Основные свойства арифметической прогрессии:

1. Разность A.П. равна разнице между любыми двумя соседними членами последовательности. Обозначается буквой d.
2. Первый член A.П. обозначается буквой a₁.
3. Общий член A.П. обозначается буквой a_n.

Формула общего члена А.П.:

a_n = a₁ + (n — 1)d

где a_n — n-й член А.П., a₁ — первый член А.П., d — разность А.П., n — номер члена А.П.

Сумма первых n членов А.П.:

S_n = n(a₁ + a_n) / 2

где S_n — сумма первых n членов А.П., a₁ — первый член А.П., a_n — n-й член А.П., n — количество членов А.П.

Пример:

В данном примере разность А.П. равна 2, первый член А.П. равен 5, а общий член А.П. можно выразить с помощью формулы a_n = 5 + 2(n — 1).

Вопрос-ответ

Как доказать, что последовательность аn = 5 + 2n является арифметической прогрессией?

Для доказательства того, что последовательность аn = 5 + 2n является арифметической прогрессией, необходимо проверить, выполняется ли для нее условие арифметической прогрессии. Последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый член этой последовательности получается из предыдущего члена последовательности прибавлением одного и того же числа, называемого разностью арифметической прогрессии.

Как определить разность арифметической прогрессии по формуле последовательности an = 5 + 2n?

В формуле последовательности an = 5 + 2n, разность арифметической прогрессии равна коэффициенту при n, то есть 2. Это число указывает, на сколько увеличивается каждый член последовательности по сравнению с предыдущим. Таким образом, разность арифметической прогрессии в данном случае равна 2.

Какое значение имеет первый член арифметической прогрессии с формулой an = 5 + 2n?

В арифметической прогрессии с формулой an = 5 + 2n, первый член последовательности можно найти, подставив в формулу значение n = 1. Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 7 (5 + 2 * 1 = 7).