Докажем, что при любом натуральном n значение выражения 17^n — 1 кратно 16.
Для начала заметим, что число 17 можно представить в виде 16 + 1.
Тогда выражение 17^n — 1 можно переписать следующим образом:
17^n — 1 = (16 + 1)^n — 1 = C(n,0) * 16^n * 1^0 + C(n,1) * 16^(n-1) * 1^1 + … + C(n,n-1) * 16^1 * 1^(n-1) + C(n,n) * 16^0 * 1^n — 1.
Большинство слагаемых в этой сумме будет кратно 16, поскольку 16 возводится в степень не менее одного.
Таким образом, остается проверить только последнее слагаемое C(n,n) * 16^0 * 1^n — 1.
Заметим, что C(n,n) = 1 и 16^0 = 1.
Таким образом, остается доказать, что 1^n — 1 кратно 16 при любом натуральном n.
Очевидно, что 1^n — 1 равно 0, и 0 кратно 16.
Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n значение выражения 17^n — 1 кратно 16.
Интересный математический факт
В математике существуют множество интересных и необычных фактов. Один из таких фактов связан с выражением 17^n — 1, где n — натуральное число.
Это выражение всегда кратно 16, то есть делится на 16 без остатка при любом значении n.
Чтобы понять почему это так, рассмотрим значение выражения при нескольких значениях n:
При n = 1: 17^1 — 1 = 17 — 1 = 16. Очевидно, что 16 делится на 16 без остатка.
При n = 2: 17^2 — 1 = 289 — 1 = 288. 288 также делится на 16 без остатка.
При n = 3: 17^3 — 1 = 4913 — 1 = 4912. И снова получаем число, кратное 16.
Можно продолжать проверять значения выражения для других натуральных чисел и увидеть, что они все будут кратны 16. Этот факт может быть доказан математически с использованием алгебры и арифметики, но для простоты объяснения мы ограничимся только примерами.
Этот факт является примером интересной числовой закономерности, которую можно обнаружить в математике. Он также может быть использован в решении задач и доказательствах в других областях, где требуется знание и понимание таких особенностей числовых выражений.
Если n — натуральное число, то n^17 — 1 кратно 16
Для доказательства данного утверждения рассмотрим выражение n^17 — 1 и его деление на 16.
Заметим, что при делении любого числа на 16 остаток может быть только один из четырех возможных значений: 0, 1, 2 или 3.
Рассмотрим все возможные остатки при делении n на 16:
- Остаток 0: если n делится на 16 без остатка, то n^17 также будет делиться на 16 без остатка. Это можно увидеть из того факта, что кратное 16 число возведенное в любую степень будет также кратным 16.
- Остаток 1: при делении n на 16 с остатком 1, имеем n = 16k + 1 для некоторого целого числа k. Возведем это выражение в 17 степень: (16k + 1)^17. По биному Ньютона это выражение даст нам сумму членов, каждый из которых делится на 16 при любом натуральном k. Один из членов этой суммы будет -1. Таким образом, имеем (16k + 1)^17 — 1 = … + (-1) + … , и всегда делится на 16.
- Остаток 2: аналогично предыдущему пункту, для случая делимости n на 16 с остатком 2, имеем n = 16k + 2 для некоторого целого числа k. Подставляя это выражение в n^17 — 1 и применяя бином Ньютона, получаем (16k + 2)^17 — 1 = … — 1 + … , и всегда делится на 16.
- Остаток 3: для случая делимости n на 16 с остатком 3, имеем n = 16k + 3 для некоторого целого числа k. Подставив это выражение в n^17 — 1 и применяя бином Ньютона, получим (16k + 3)^17 — 1 = … + 1 + … , и также всегда делится на 16.
Итак, мы рассмотрели все возможные остатки при делении n на 16, и в каждом случае получили, что n^17 — 1 делится на 16 без остатка. Это означает, что при любом натуральном n значение выражения n^17 — 1 кратно 16.
Вопрос-ответ
Зачем нужно доказывать, что значение выражения 17^n — 1 кратно 16?
Доказательство того, что значение выражения 17^n — 1 кратно 16, имеет практическую ценность в различных областях математики и информатики. Например, это утверждение может использоваться при разработке алгоритмов для вычисления остатков от деления больших чисел на 16 или при работе с битовыми операциями. Также это свойство может быть полезно при доказательстве других математических утверждений.
Как можно доказать, что значение выражения 17^n — 1 кратно 16?
Существует несколько способов доказательства этого утверждения. Один из них основан на использовании теоремы остатка от деления. Для доказательства мы можем исследовать выражение 17^n — 1 в модуле 16. Мы заметим, что 17^n — 1 ≡ 1^n — 1 ≡ 1 — 1 ≡ 0 (mod 16). Это значит, что выражение 17^n — 1 делится на 16 без остатка и, следовательно, кратно 16.
Можно ли доказать это утверждение для любого натурального числа n?
Да, это утверждение верно для любого натурального числа n. Мы можем воспользоваться методом математической индукции для доказательства этого утверждения. Базовый шаг индукции выполняется для n = 1: 17^1 — 1 = 16, что является кратным 16. Шаг индукции предполагает, что утверждение верно для некоторого n. Мы должны показать, что оно верно для n + 1. Мы замечаем, что 17^(n+1) — 1 = 17^n * 17 — 1 = (16k + 1) * 17 — 1 = 16k * 17 + 17 — 1 = 16k * 17 + 16. Это выражение делится на 16 без остатка и, следовательно, кратно 16. Таким образом, утверждение верно для любого натурального числа n.