Деление чисел и изучение их свойств является важной частью математики. В данной статье мы рассмотрим одно интересное свойство: делимость числа n³ на 24 при любом нечетном n.
Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся методом математической индукции. В основе этого метода лежит принцип доказательства утверждений для бесконечного множества чисел, используя доказательство для одного числа и переход от него к следующему.
Пусть n — нечетное число. Рассмотрим n³. Так как n нечетное, то его можно представить в виде n = 2k + 1, где k — целое число. Подставим это значение в формулу n³: (2k + 1)³ = 8k³ + 12k² + 6k + 1.
Теперь посмотрим на полученное выражение. Заметим, что каждый из членов 8k³, 12k² и 6k является произведением числа, кратного 8, и какого-то целого числа. Значит, эти три члена делятся на 8 без остатка.
Добавим еще одно элементарное утверждение: каждое число делится на 1 без остатка. Таким образом, сумма всех членов 8k³ + 12k² + 6k + 1 делится на 8 + 1 = 9 без остатка.
Основная идея
Для доказательства того, что любое нечетное число в кубе делится на 24, можно использовать метод математической индукции.
Индукция — это математический метод, который используется для доказательства утверждений вида «для всех натуральных чисел…».
Доказательство проводится в две части:
- Базисный шаг: устанавливаем, что утверждение верно для начального значения (обычно для n=1).
- Шаг индукции: предполагаем, что утверждение верно для некоторого значения k и доказываем, что оно верно для значения k+1.
В данном случае, основная идея состоит в доказательстве того, что для любого нечетного числа n в кубе будет делиться на 24. Мы начнем с базового значения n=1 и докажем, что утверждение верно для него. Затем мы предположим, что утверждение верно для некоторого нечетного числа k и докажем, что оно верно для k+2, и так далее.
Таким образом, используя метод математической индукции, мы можем доказать, что n в кубе делится на 24 при любом нечетном n.
Исходные данные
В задаче необходимо доказать, что куб нечетного числа делится на 24 без остатка.
Задано нечетное число n.
- Требуется доказать, что n3 делится на 24.
Формулировка задачи
Докажите, что для любого нечетного числа n, число n в кубе делится на 24.
Решение
Для доказательства того, что n³ делится на 24 при любом нечетном n, мы можем использовать метод математической индукции.
- Базовый шаг:
- Предположение:
- Индукционный переход:
- Заключение:
При n = 1, получаем 1³ = 1, что делится на 24 без остатка, так как 24 * 0 = 0.
Предположим, что утверждение верно для некоторого нечетного числа k, то есть k³ делится на 24.
Докажем, что утверждение верно для (k + 2), то есть (k + 2)³ также будет делиться на 24.
Раскроем выражение (k + 2)³: (k + 2)³ = k³ + 3k²·2 + 3k·2² + 2³
Так как k³ делится на 24 по предположению индукции, остается доказать, что остаток от деления 3k²·2 + 3k·2² + 2³ на 24 равен нулю.
Обозначим M = 3k²·2 + 3k·2² + 2³. Раскроем выражение M: M = 3(2k²) + 3(4k) + 8 = 6k² + 12k + 8
Заметим, что каждое слагаемое в выражении M делится на 2 без остатка, так как k является нечетным числом (по предположению) и 2 стоит в каждом слагаемом.
Таким образом, M также будет делиться на 2 без остатка.
Поскольку M делится на 2 и k³ делится на 24, сумма M + k³ также будет делиться на 24.
Таким образом, мы доказали, что n³ делится на 24 при любом нечетном n, используя метод математической индукции.
Таким образом, утверждение доказано.
Доказательство
Для доказательства того, что n³ делится на 24 при любом нечетном n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.
Шаг базы:
Для n = 1 мы имеем 1³ = 1, что делится на 24 без остатка, так как 24 * 0 + 1 = 1.
Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого нечетного k, k³ делится на 24 без остатка, то есть k³ = 24m для некоторого целого числа m.
Рассмотрим (k + 2)³:
(k + 2)³ = k³ + 3k² * 2 + 3k * 2² + 2³ = k³ + 6k² + 12k + 8.
Так как k³ делится на 24 без остатка, мы можем записать k³ = 24m:
(k + 2)³ = 24m + 6k² + 12k + 8 = 24m + 6k(k + 2) + 8.
Мы видим, что третье слагаемое, 6k(k + 2), делится на 24 без остатка, так как оно является произведением двух нечетных чисел (k и k + 2).
Третье слагаемое также делится на 8 без остатка, так как оно содержит фактор 12k, который уже делится на 8.
Таким образом, (k + 2)³ также делится на 24 без остатка.
Заключение:
Мы доказали, что если для некоторого нечетного числа k верно, что k³ делится на 24 без остатка, то для числа (k + 2) также верно, что (k + 2)³ делится на 24 без остатка.
Таким образом, по принципу математической индукции, n³ делится на 24 при любом нечетном n.
Обобщение
Таким образом, мы доказали, что при любом нечетном числе n, куб этого числа n³ будет делиться на 24. Пользуясь этим обобщением, мы можем легко вычислить куб любого нечетного числа и убедиться в том, что оно будет кратно 24.
Вопрос-ответ
Как доказать, что n³ делится на 24 при любом нечетном n?
Для доказательства этого утверждения, можно воспользоваться методом математической индукции. Первым шагом, проверим базу индукции для n=1. В данном случае 1³ равно 1, и 1 действительно делится на 24, так как 24 является произведением 1 и 24. Теперь предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть k³ делится на 24. Докажем, что это утверждение верно также и для k+2. Имеем (k+2)³ = k³ + 6k² + 12k + 8. Используя предположение индукции, заметим, что k³ делится на 24. Также отметим, что 6k² + 12k является произведением 6 и k, и второй элемент делится на 24. Наконец, 8 делится на 24, так как 24 является произведением 8 и 3. Итак, применяя предположение индукции, получаем, что (k+2)³ также делится на 24. Таким образом, мы доказали, что n³ делится на 24 при любом нечетном n.
Можете объяснить, почему n³ делится на 24 при любом нечетном n?
Конечно! Для того чтобы доказать, что n³ делится на 24 при любом нечетном n, можно воспользоваться фактом, что 24 можно представить в виде произведения 2 и 12. Обратим внимание, что куб нечетного числа будет представлять собой нечетное число. И так как 2 является делителем 24, то и 2 будет делителем произведенного куба, то есть n³ делится на 2. Теперь обратим внимание на то, что второй делитель 24 — 12. Чтобы доказать, что n³ делится на 12, достаточно показать, что n³ делится на 6, так как 6 делится на 12. Так как n является нечетным числом, то n можно представить в виде 2k+1, где k — целое число. Подставим это выражение в n³: (2k+1)³ = 8k³+12k²+6k+1. Заметим, что 12k² является кратным 12, а 6k также является кратным 6. Поэтому сумма этих двух выражений и 1 делится на 12. Таким образом, мы доказали, что n³ делится на 24 при любом нечетном n.