Для того чтобы доказать данное утверждение, мы используем метод математической индукции. Первоначально, давайте рассмотрим базовый случай, когда n равно 0. В этом случае, n^2 + 8n = 0 + 0 = 0, а 0 кратно 16. Таким образом, базовый случай доказан.
Далее мы предполагаем, что утверждение справедливо для некоторого числа k, то есть k^2 + 8k кратно 16. Наша задача — доказать, что утверждение также справедливо и для числа k + 4.
При рассмотрении числа (k + 4), мы можем записать его в виде (k + 4)^2 + 8(k + 4). Раскрывая скобки, получим k^2 + 8k + 16 + 8k + 32. Объединяя подобные слагаемые, получим k^2 + 16k + 48.
Теперь давайте рассмотрим выражение (k^2 + 8k) + (8k + 48). Из нашего предположения, первое слагаемое кратно 16, так как k^2 + 8k кратно 16. А второе слагаемое, 8k + 48, является кратным 16, так как оба слагаемых делятся на 8. Следовательно, их сумма (k^2 + 16k + 48) также кратна 16.
Таким образом, мы доказали, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n также кратно 16. Доказательство по индукции завершено.
Числа кратные 4
Для доказательства того, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n также кратно 16, можно использовать математическую индукцию.
Индукционное доказательство состоит из двух шагов:
- Базовый шаг: доказываем утверждение для начального значения n.
- Шаг индукции: предполагаем, что утверждение верно для некоторого n и доказываем его для n + 1.
Базовый шаг. Пусть n = 4k, где k — некоторое целое число. Тогда н^2 + 8n = (4k)^2 + 8(4k) = 16k^2 + 32k = 16(k^2 + 2k).
Как можно видеть, полученное выражение является кратным 16, так как оно является произведением числа 16 на целое число (k^2 + 2k).
Шаг индукции. Пусть утверждение верно для некоторого n = 4k. Докажем его для n + 1 = 4k + 1.
(n + 1)^2 + 8(n + 1) = (4k + 1)^2 + 8(4k + 1) = 16k^2 + 8k + 1 + 32k + 8 = 16k^2 + 40k + 9 = 16(k^2 + 2.5k) + 9.
Полученное выражение также является кратным 16, так как оно является произведением числа 16 на целое число (k^2 + 2.5k) + 9.
Таким образом, мы показали, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n также кратно 16, используя индукцию.
Исходное утверждение
Докажем, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n кратно 16.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.
- Базис индукции: проверим утверждение для n=4.
При n=4 получаем:
| n^2 + 8n = 4^2 + 8 * 4 = 16 + 32 = 48. |
Так как 48 кратно 16 (в результате деления на 16 получаем целое число), база индукции верна.
- Предположение индукции: предположим, что утверждение верно для n=k, где k — произвольное число кратное 4.
Из предположения индукции получаем:
| k^2 + 8k = 16m, |
где m — некоторое целое число.
- Шаг индукции: покажем, что утверждение верно для n=k+4.
При n=k+4 получаем:
| (k+4)^2 + 8(k+4) = k^2 + 8k + 16 + 8k + 32 = (k^2 + 8k) + (16 + 32) = 16m + 48 = 16(m + 3). |
Таким образом, получается, что выражение n^2 + 8n равно 16(m + 3), где m + 3 является целым числом. То есть, число n^2 + 8n кратно 16.
Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n кратно 16.
Доказательство
Для доказательства данного утверждения воспользуемся математическим методом доказательства «методом математической индукции».
Шаг 1: Проверяем базовый случай. Если число n равно 0, то n^2 + 8n равно 0. Поскольку 0 делится на 16 без остатка, утверждение выполнено для базового случая.
Шаг 2: Предположение. Предположим, что утверждение истинно для некоторого целого числа k.
Шаг 3: Доказательство исправности. Докажем, что утверждение истинно для числа k + 1.
Имеем:
- n = k
- n^2 + 8n = k^2 + 8k
Отсюда:
- n + 1 = k + 1
- (n + 1)^2 + 8(n + 1) = (k + 1)^2 + 8(k + 1)
Раскроем скобки:
- (n + 1)^2 + 8(n + 1) = n^2 + 2n + 1 + 8n + 8
- (n + 1)^2 + 8(n + 1) = n^2 + 10n + 9
Расмотрим выражение (n + 1)^2 + 8(n + 1) в модулю 16:
| n | (n + 1)^2 + 8(n + 1) | (n + 1)^2 + 8(n + 1) (mod 16) |
|---|---|---|
| 0 | 9 | 9 |
| 1 | 20 | 4 |
| 2 | 33 | 1 |
| 3 | 48 | 0 |
| 4 | 65 | 1 |
| 5 | 84 | 4 |
| 6 | 105 | 9 |
Из таблицы видно, что выражение (n + 1)^2 + 8(n + 1) делится на 16 без остатка для любого значения n, кратного 4. Поэтому, если число n кратно 4, то n^2 + 8n также будет кратно 16.
Кратность n^2 + 8n числу 16
Для доказательства, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n кратно 16, рассмотрим два случая:
- Если n кратно 4, то существует целое число k такое, что n = 4k.
- Доказательство:
- n = 4k
- n^2 + 8n = (4k)^2 + 8(4k)
- n^2 + 8n = 16k^2 + 32k
- n^2 + 8n = 16(k^2 + 2k)
- Таким образом, n^2 + 8n делится на 16 и, следовательно, кратно числу 16.
Таким образом, доказано, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n кратно 16.
Вопрос-ответ
Как доказать, что число, кратное 4, будет также кратно 16?
Чтобы доказать, что число n, кратное 4, будет также кратным 16, нужно рассмотреть выражение n^2 + 8n. Если число n кратно 4, то можно записать его в виде n = 4k, где k — целое число. Подставим это значение в выражение: (4k)^2 + 8(4k). При раскрытии скобок получим 16k^2 + 32k. Заметим, что каждый член в этой сумме делится на 16 без остатка. Таким образом, выражение n^2 + 8n равносильно 16k^2 + 32k. Так как каждый член в этой сумме кратен 16, то и сама сумма кратна 16. Следовательно, если число n кратно 4, то n^2 + 8n будет кратно 16.
Можно ли использовать другой способ для доказательства того, что n^2 + 8n кратно 16 для чисел, кратных 4?
Да, можно использовать другой способ доказательства. Мы можем воспользоваться методом математической индукции. Для этого сначала докажем базу индукции: если n = 4, то n^2 + 8n = 4^2 + 8*4 = 64, что кратно 16. Теперь предположим, что утверждение верно для некоторого числа k: k^2 + 8k кратно 16. Докажем, что тогда оно верно и для (k + 4). Раскроем скобки в выражении (k + 4)^2 + 8(k + 4): (k + 4)^2 + 8(k + 4) = k^2 + 8k + 16 + 8k + 32 = (k^2 + 8k) + 48. Так как k^2 + 8k кратно 16 по предположению индукции, то (k + 4)^2 + 8(k + 4) будет кратно 16. Таким образом, мы доказали, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n кратно 16.